مقاله در مورد بررسی روش انرژی و كاربرد آن در خواص كششی پارچه

توضیحات

توجه : به همراه فایل word این محصول فایل پاورپوینت (PowerPoint) و اسلاید های آن به صورت هدیه ارائه خواهد شد

 مقاله در مورد بررسی روش انرژی و كاربرد آن در خواص كششی پارچه دارای 34 صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد مقاله در مورد بررسی روش انرژی و كاربرد آن در خواص كششی پارچه  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ریختگی احتمالی در متون زیر ،دلیل ان کپی کردن این مطالب از داخل فایل ورد می باشد و در فایل اصلی مقاله در مورد بررسی روش انرژی و كاربرد آن در خواص كششی پارچه،به هیچ وجه بهم ریختگی وجود ندارد

---

بخشی از متن مقاله در مورد بررسی روش انرژی و كاربرد آن در خواص كششی پارچه :

بررسی روش انرژی و كاربرد آن در خواص كششی پارچه

1- مقدمه :

میكرومكانیكهای پارچه را بر اساس روش واحد كوچك مرسوم بررسی خواهیم كرد. بصورتیكه یك پارچه را به عنوان یك شبكه‌ای از واحدهای كوچك مشخص و تكرار شونده در نظر گرفته شده و به شكل موجهای تجعد در ساختار پارچه های تاری و پودی و حلقه های سه بعدی در ساختار پارچه های حلقوی قرار گرفته اند.

پارچه ها یك نوع مواد پیچیده‌ای هستند كه حتی بطور تقریبی از حالتهای ایده آل ونرمال فرض شده در آنالیز ساختاری مهندسی و مكانیك نیز پیروی نمی كنند . همچنین مطالعات هندسه پارچه ، نقش اساسی در توسعه فرآیند كنترل كیفیت طراحی، و تقویت پایداری ابعادی و خصوصیات پارچه در طول مدت تولید و كاربرد را ایفا می كند .

در مورد پارچه های تاری پودی ، روشهای آنالیز نیرو بطور گسترده‌ای برای مطالعه و تفسیر خواص مكانیكی پارچه مثل كشش ، خمش و برش مورد استفاده قرار گرفته است .اگر چه در مورد پارچه های حلقوی بدلیل طبعیت سه بعدی حلقه های متقاطع ، آنالیز روش نیرو بسیار پیچیده است . در هر دو روشهای آنالیز هندسی و نیرو برای پارچه های تاری /پودی و حلقوی ،؛ تعدادی از فرضیات اولیه در ارتباط با طبیعت تماسهای نخ و شكل سطح مقطع نخ در هر واحد كوچك از پارچه لازم می باشد .

این فرضیات معمولاً خطاهای زیادی در مورد هر نوع آنالیز مكانیكی پارچه یا خواص رئولوژی آن را به همراه دارد .

در این بحث ، نشان داده می شود كه روشهای آنالیز مینیمم كردن انرژی بر بسیاری از مشكلات قبلی روشهای آنالیز گذشته، برتری خواهد داشت تكنیكهای مینیمم انرژی به طوركلی قوی هستند وقتی كه برای مطالعه ساختارها و مشخصات تغییر فرم الاستیك پارچه ( بعد از استراحت ) بكار می روند . همچنین اجازه می دهد كه مقایسه های مستقیم در حالتهایی كه پارامترهای نرمال شده بی بعد بین ساختمانهای مختلف پارچه تاری و پودی و حلقوی ، را بوجود آورد . آنالیز انرژی بر اساس اصل اساسی كه ساختارهای الاستیك همیشه ، شكلی از مینیمم انرژی ازدیاد طول بدون توجه به تغییر فرم ایجاد شده، در نظرگرفته می شود .نتیجه مینیمم انرژی كرنشی كل نخ در پارچه (شامل خمش ، پیچش ، فشار جانبی و ازدیاد طول -طولی نخ ) بعنوان یك مسئله كنترل بهینه عمل نمود . و شامل قیود ( محدودیتها ) مشخص ه در پارچه می‌باشد.

2- روشهای آنالیز انرژی

كاملاً مشخص است كه شرایط نیرو و تعادل گشتاوری در ساختارهای استاتیكی از نظر ریاضی با شرایط مینیمم انرژی معادل است (37-35) بدلیل اینكه انرژی یك كمیت عددی است بنابراین قسمتهای خاصی از انرژی كل می تواند بصورت عددی اضافه گردد اما نیروها و تنشها باید بصورت برداری جمع شوند .

تریلور و ریدینگ[38] نشان دادند ، آنالیز مكانیك نخ می تواند به سادگی و قوی بوسیله روش انرژی انجام گیرد . هرل و نیوتن [39] نیز نشان دادند كه آنالیز انرژی به كار رفته در پارچه های بی بافت ، نتیجه كلی ساده تر از روش نیرو مرتبط با آن را به دست خواهد آورد . همچنین تایبی و بیكر[40] ، از اصول انرژی برای پیدا كردن تاب مورد نیاز نخ چند لا برای تولید كردن نخهای بدون تاب زندگی استفاده كردند . و بالاخره تئوری كاستیگیلیانو[41] بطور گسترده در مسائل مهندسی برای پیدا كردن حل، ساختارهای نامعین بكار رفته است .این تئوری توسط گروسبرگ[13] در پارچه های تاری و پودی استفاده شده است .

این روشهای انرژی بصورت ساده و كلی نمی تواند برای پارچه ها بكار روند بدلیل اینكه همیشه یكسری فرضیات اولیه در مورد هندسه مسئله وجود دارد . تریلور و ریدینگ ، هندسه مارپیچ ثابت را برای نخها فرض نمودند، در نتیجه روش آنها هیچ اطلاعاتی درباره نیروهای عرضی عمل شده در داخل نخ را بدست نمی آورد . هرل و نیوتن فرضیاتی درباره هندسه توده الیاف بی بافت در نظر گرفتند ، كه باز هم اطلاعاتی در رابطه با نیروهای داخلی در سیستم بدست نیامد. در تئوری كاستیگیلیانو، فرضیه هندسه ثابت بكار رفت كه فقط قانون تنش – كرنش خطی می تواند استنباط گردد[41].بنابراین گروسبرگ[13] فقط مدول ازدیاد طول اولیه برای پارچه تاری و پودی را بیان نموده است .

روش های انرژی بطور گسترده در مسائل مكانیك پیچیده استفاده شده بطوریكه بجای حالت هندسی ، روابط جبری بدست آمده از اصول انرژی جایگزین شده است . اگر مسئله بخوبی و بطور صحیح فرمول سازی شده باشد حداقل اطلاعات بیشتری با استفاده از روش انرژی نسبت به روشهای نیرو می تواند بدست آید . سادگی بیشتر روش انرژی بطور طبیعی آنرا به یك روش جذاب تبدیل نموده و همچنین تعداد فرضیات و تقریبهای غیر ضروری را نیز اغلب حذف نموده است . بطور مثال با استفاده از تئوری كنترل بهینه ، فرضیات قبلی ساخته شده در مورد طبیعت منطقه تقاطع نخ در پارچه حلقوی ساده ، لازم نمی باشد .

دلایل مناسب دیگری ،برای استفاده از روشهای انرژی در مسائل مكانیكی پارچه نیز وجود دارد . اغلب این روش بر اساس روشهای مستقیم در محاسبه متغیرها و تكنیك عددی مشخص را پیشنهاد می‌دهد .

3- فرمول سازی ریاضی معادلات انرژی

1-3- مسئله اصلی

برای ساختار تغییر شكل یافته این فرضیه ، مینیمم انرژی نشاندهنده این است كه نیروهای داخلی و خارجی و كوپلها در تعادل مكانیكی هستند .در آنالیز نیرو ، لازم است كه یك واحد كوچك ساختاری به قسمتهایی تقسیم بندی شود بطوریكه در انتهای آنها ، نیروها و كوپلها عمل می كنند . طور هر قسمت باید متفاوت باشد بخاطر اینكه نقطه عمل كننده . نیروهای داخلی ثابت نیست .بنابراین در ساختار حلقوی ساده ، باید فرضیاتی ، در مورد نیروهای نقطه‌ای و كوپلهای عمل شده در ساختار و همچنین درباره طبیعت مناطق تماسی بین نخها ، ساخته شود . علاوه بر این ،یك فرمول متفاوت از مسئله برای هر ساختار پارچه و برای هر نوع تغییر شكل با استفاده از آنالیز نیرو، لازم می باشد .

حتی برای سادگی بیشتر ، فشار نخ و فشردگی پارچه (Jamming) در آنالیز نهایی بحساب نمی آیند .

آنالیز انرژی كلی مكانیك پارچه پیشنهاد شده ، از ساختار پارچه مستقل می باشد تعدادی از فرضیات محدود كننده آنالیزهای قبلی نیز حذف شده است همچنین فشرده شدن پارچه در نظر گرفته می شود .

این تئوری ارائه شده ، در حالت كلی و با بیان اهمیت فیزیكی حالتهای معرفی شده از تئوری كنترل بهینه در ساختارهای اساسی مكانیك پارچه شرح داده شده است .

نقطه شروع روش انرژی ، آنالیز ساختار الاستیك شامل مشخص كردن وفرمول سازی هر قسمت از انرژی در ساختار است این انرژی نیاز به تعریف دقیق دارد و می تواند بصورت پارامترهای ذیل ارائه گردد .

1)‌انرژی پتانسیل كل

2)‌ انرژی مكمل

3) انرژی كرنشی

این تقسیم بندی به طبیعت نیروها و كوپلهای مرزی بكار رفته ، بستگی دارد .در روش ارائه شده ، انرژی كرنشی كل ( شامل مجموع خمش ، پیچش – فشار جانبی و انرژیهای كرنشی ازدیاد طول طولی می باشد ) فرمول سازی شده است و این انرژی كرنشی كل ، مینیمم سازی شده است .

شرایط لازم تعادل نیرو و گشتاور با شرایط مناسب انرژی مینیمم ، پایدار خواهد شد بشرط آنكه مسئله به طور صحیح فرمول سازی شده باشد .

2-3-فرضیات

با توجه به اینكه انرژی یك كمیت عددی است بنابراین انرژی كل E هر واحد كوچك ، بصورت مجموع انرژی حالتهای هر موج یا حلقه تكرار شونده ، بیان می گردد .

(1-9)                                                 

به ترتیب حالتهای انرژی در واحد طول نخ برای خمش ، پیچش ، فشار جانبی و كشش طولی هستند و L_i هم طول i امین حلقه در تكرار و n هم تعداد حلقه های تشكیل شده در واحد كوچك پارچه می باشد .

فرضیات ذیل برای آنالیز كلی در نظر گرفته می شود .

1)‌الف : نخها در خمش ، دارای الاستیك خطی هستند در نتیجه انرژی خمشی در واحد طول نخ بصورت تعریف می گردد بطوریكه B سختی خمش نخ و K انحنای كلی نخ می باشد .

ب : نخ دارای سختی یكسان ، در تمام جهات خمشی است .

2) انرژی پیچشی نخ در واحد طول بصورت تعریف می گردد بطوریكه G‌ سختی پیچشی نخ و تاب در واحد طول نخ است .

برای سادگی ، انرژی فشار جانبی نخ در واحد طول در ابتدا بصورت E_C=Cg(r) فرض می شود كه ‍C سختی فشاری و r فاصله از یك نقطه روی نخ مرجع با محل دیگر است اگرچه هنوز تعریف نشده است اما نقطه‌ در محل تماس نخ می باشد . تابع اصلی تماس نخ g‌ بصورت نیمه تجربی مشخص می شود . بعداً در آنالیز انرژی فشاری E_c ، بصورت كاملتر تعریف خواهد شد .

در ابتدا، انرژی ذخیره شده حاصل از ازدیاد طول كششی نخ در پارچه چشم پوشی می‌گردد. این فرضیه به استراحت دادن برای یك ساختار پارچه تاری و پودی نیاز خواهد داشت اگرچه برای پارچه های حلقوی با تغییر شكل كم و متوسط بوسیله تغییرات در انحنای نخ و فشار نسبت به ازدیاد طول كششی ، مشخص می گردد . بنابراین در ابتدا بغیر از تغییر شكلهای زیاد پارچه،طول نخ ثابت فرض می شود و بنابراین E_t نیز ناچیز خواهد بود .

3-3- آنالیز ریاضی

انرژی كرنشی

منحنی نشان داده شده بوسیله محور نخ در سه جهت خم شده با Z=Z(S) ارائه می‌گردد بطوریكه مختصات سه بعدی هر نقطه روی محور نخ هستند و S پارامتر متغیر طول كمان است انحنای محور نخ با بردار اندازه K نشان داده می‌شود .(‌نسبت به S بدست آمده است )

(2-9)                                                                    

انرژی خمشی نخ ( در واحد طول ) در هر نقطه بصورت ذیل خواهد بود.

برای شفافیت در ابتدا یك شكل حلقه بافت حلقوی ساده در واحد كوچك پارچه در نظر گرفته می شود بطوریكه در معادله (1-9)n=1 است و یك بافت حلقوی تاری یكطرفه 1×1 ریب است .

با توجه به فرضیات ارائه شده و با تقسیم بر B معادله (1-9) بصورت ذیل تبدیل خواهد شد .

(3-9)                                                 

L مدول یا منحنی الخط طول تركیبی در محل تقاطع نخ تكی و است این حالت مدول طول نخ در ساختار پارچه ، نشاندهنده حالت كلی باقیمانده روی همه ساختارهای پارچه معرفی شده است . شكل Z=Z(S) قابل محاسبه است بطوریكه تابع انرژی U را با توجه به دو قید ( محدودیت ) ذیل مینیمم كند .

(4-9)                                                                             

تعریف پارامتر طول كمان است و

(5-9)                                                                            

كه یك نقطه روی همسایگی نخ با كه در حال حاضر تعریف نشده است این محدودیت در معادله (4-9) به این معنی است كه به .بستگی دارد و به منظور پیدا كردن سه متغیر كه مستقل هستند معادلات زیرتعریف شده اند .

(6-9)                             

اگر جهتهای 321 مطابق شكل 9-9 باشند بنابراین طبق معادله 6-9، سیستم مختصات كروی تنظیم شده است بطوریكه Z₄ زاویه‌ای است كه المان طول نخ ( d_z) با محور 1 می سازد و Z₅ زاویه‌ای است كه تصویر d_z روی صفحه 3-2 با محور 2 می‌سازد.

متغیرهای m₂,m₁ نرخهای تغییرات در طول محور نخ را نشان می دهند پارامتر m₁ چرخش در صفحه‌ای كه شامل جزء d_z و محور 1 است را تعریف می كند . و بنابراین یك بردار نرمال در این صفحه است بطور مشابه m₂ چرخش در صفحه 3-2 و بنابراین یك بردار در جهت 1 می باشد و m₂ دو جزء دارد (هر دو در صفحه 1-d_z) بطوریكه نرمال روی موازی با d_z است جزء آخر نشان دهنده تاب نخ به خاطر خمش در سه جهت می باشد. اگر علاوه بر خمش ، نخ ممكن است در هر نقطه از محور خودش تابیده یا تاب آن باز شود بنابراین زاویه تاب Z₆تعریف می شود و نرخ تاب هم m₃ است نرخ تاب m₃ به تاب هندسی اضافه می‌گردد .

سه وجهی تشكیل شده بوسیله می چرخد و همزمان در طول محور نخ حركت می كند. این سه وجهی مساوی با تانژانت ، نرمال و دونرمال در منحنی نیست . و همچنین ،« انحناء» همانطور كه تعریف شده توسط عمل شده در همان جهت برابر با نرمال ، نیست این اندازه معادل و هم ارز است و میتواند به صورت ذیل محاسبه گردد (‌همچنین از نظر جبری ثابت شده است ).

(7-9)                                                 

     (8-9)                                                  

بنابراین معادله (3-9) بصورت ذیل تغییر می كند .

 

(9-9)    

حل با تئوری كنترل بهینه

بردار اندازه m‌ به عنوان بردار كنترل مستقل در نظر گرفته می شود [43].

كه مقدار آن باید درهر نقطه از طول حلقه بدست آید برای اینكهU مینیمم شود با قرار دادن قیود در معادله 6-9 بطوریكه برای مینیمم

در هر مكانی در طول حلقه خواهد بود این مسئله میتواند با معادل و با استفاده از تئوری كنترل بهینه ، برگردان شود [49-44-42].

اگر بصورت معمول حركت كنیم [43]،ضرایب لاگرانژ معرفی می شوند . و برای هر جزء معادلات (6-9) و همیلتن H(‌كه واحد های انرژی BL را دارد ) بصورت زیر تعریف شده است .

(11-9)                                                        

(12-9)                  

بطوریكه E در معادله (1-9) تعریف شده است .

مینیمم كردن تابع انرژی جدید U_a بدون قید ( محدودیت ) از نظر ریاضی معادل مینیمم كردن U با قیود در معادله 6-9 است بطوریكه :

(13-9)                                     

یك مجموعه از شرایط ضروری برای مینیمم كردن معادله (13-9) بوسیله معادلات متعارف ( معیار ) همیلتن ارائه می گردد.

(14-9)                                                                  

(15-9)                                                                  

معادله های (14-9) بیان مجدد معادلات ( 6-9) هستند و اثر قیود بین متغیرها هستند .معادله های (15-9) بعنوان معادلات كمكی شناخته شده واز معادله (12-9) محاسبه می شوند .

(16-9)

بطوریكه مشتق گیری با توجه به r و با توجه به طول قوس S مشخص می گردد.

تنظیم شرایط لازم برای مینیمم مشابه معادله (10-9) است

(17-9)                                     

این شرایط روابط ذیل را بدست می آورد .

(18-9)                                     

برای نشان دادن اینكه این معادلات مینیمم را نسبت به ماكزیمم نشان می دهد با مشتق گیری ازمعادله (17-9) و نشان دادن اینكه [48]

(19-9)                                                                  

برای همه نقاط روی منحنی Z برقرار است بدلیل اینكه H ، S را بطور واضح شامل نمی شود ثابت می‌شود كه مقدار ثابت H= در طول حلقه است [49]).

از نتیجه گیری معادله های (16-9)، كاربرد ساخته شده است .

این قطعاً در حالت درست است .اگر روی همسایگی نخ با شكل مختلف قرار داشته باشد بنابراین مستقل هستند اگر از Z بوسیله انتقال ، چرخش یا انعكاس ( تركیب اینها ) نتیجه گیری شود و بردار فاصله از نقطه S‌روی منحنی Z با در هر دلخواه تلاقی كند بنابراین درباره مستقل از Z(S) و خواهد شد .

تفسیر فیزیكی

اگر Cg(r)انرژی فشاری نخ در واحد طول را نشان دهد بنابراین نیروهای عمل كننده در واحد طول و در طول نخ Z در جهتهای 321 بدلیل نخ هستند بدلیل اعماا قیود در معادله دیفرانسیل در معادله های 6-9 معرفی شده ،دارای اهمیت فیزیكی واقعی است .این منفی (i=1,2,3) نیروهای (‌تقسیم بر B) در واحد طول در طول نخ كه توسط Z شرح داده شده هستند با انتگرال گیری و با توجه به S، ، نیروهای محوری و برشی (‌تقسیم بر سختی خمشی B) را شرح می دهد .

از شكل 9-9 و معادلات( 16-9)، گشتاور خمشی افزایشی در نخ Z( همیشه در جهت 1 عمل می كند )‌بخاطر نیروهای برشی است سه عبارتهای آخری معادله نشان می دهد كه قسمت گشتاور خمشی افزایشی در جهت m₁ بدلیل نیروهای برشی است .

اولین عبارت در این معادله میزانی كه در جهت m₁ بدلیل نرخ تغییر در جهت گشتاور خمشی افزایشی را نشان می دهد و همزمان كه اطراف نخ در همان جهت مشابه m₁ می چرخد [48] در ادامه معادله های (18-9) بعنوان شرط تعادل گشتاور می باشد منفی ، كوپلهاو گشتاورهای خمشی ( تقسیم بر B) عمل كننده روی نخ Z را نشان می دهد .

در منحنی هم سطح ، بطوریكه ، اگر m₂=0 در همه جا ، اولین معادله های (18-9) بیان می كند كه انحناء متناسب با گشتاور خمشی است سومین معادله های (18-9) نشان می دهد كه كوپل تاب متناسب با تاب مغزی (‌داخلی ) است ارتباط بین كوپلهای در منحنی های غیر هم سطح پیچیده تر است اگر هر دو ثابت باشند دو معادله آخری (18-9) معادل با آن نتایج به دست آمده توسط لاو [41] هستند . هیچ مقایسه‌ای درابتدای معادلات، بدست نمی آید و تنها حالت تعادل گشتاور را نشان می دهد .

با جایگذاری معادله های (18-9) در معادله (12-9) ، همیلتن H می تواند بصورت ذیل نوشته شود .

(20-9)

بطور متناوب نیروهای قیود یا نیروهای برشی نخ باعث كار و حركت در فاصله و ;. می شود ودر فشار نخ :

(21-9)        

این كار به انرژی كرنشی پیچشی و خمی T‌سیستم ( در واحد طول ) تبدیل می گردد بطوریكه:

(22-9)                                     

نتیچتاً ، H‌در معادله (20-9) می تواند به عنوان انرژی كل (منفی ) (‌در واحد طول ) سیستم در نظر گرفته شود .

(23-9)                                                                            H=-(V+T)

بطوریكه V بیان كننده و تفسیر كننده انرژی پتانسیل نیروهای قیود است و T بعنوان انرژی كرنشی نخ است .

در مورد نخ بدون فشار ، بدون تاب و مستقیم با نقطه اولیه S=0 قرار داشته باشد .

انرژی كل ( منفی) است

(24-9)        

اگر نیروهای اعمال شده باشد انتگرال صفر خواهد شد . علاوه بر این ، می‌توان نشان داد كه H در طول حلقه ثابت است (49و 44-42) H در حقیقت كلیات انتگرال انرژی توسط لاو است (41) .

یك مقایسه بیشتر بین فرمول كنترل بهینه حاضر [49و 42] می‌تواند فرمول استفاده شده در مكانیك كلاسیك را نتیجه گیری كند . [51و52]

از معادلات كمكی (16-9) مقدار ثابت = ، بطوریكه كوپل تاب در سراسر نخ ثابت است اگر آن بعنوان یك شرایط مرزی ( بدون كوپل تاب در S=0) باشد بنابراین آخرین معادله های (18-9) نتیجه خواهد داد كه :

(25-9)                                                                           

با جایگذاری، در معادله (8-9) نشان می دهد كه مطابق فرضیه جاری كه نیروها از محور نخ می گذرند پس هیچ پیچش نخ وجود نخواهد داشت . حتی در صورتیكه در نخ از بازشدن تاب به وسیله چند كوپل در انتها جلوگیری شود كلیات معادله(25-9) از بین نخواهد رفت .

معادله های (6-9) و(16-9) یك سیستم از 12 معادله دیفرانسیل مرتبه اول با 12 مجهول بصورتیكه و بطوریكه سه مجهول آخری با ، به ترتیب در معادلات (18-9) مرتبط شده اند . این معادلات قابل مقایسه با معادله دیفرانسیل مرتبه چهارم سه بعدی استفاده شده در تئوری ‌تیرساده (beam) هستند اما با دو اختلاف مهم ، بصورتیكه حضور قید ساخته شده درمعادله (4-9) و درحقیقت نیروها مستقل از شكل نیستند .

اگر شكل حلقه ها شناخته شده باشند دیفرانسیل قابل قبول از نیروهای توزیع شده بدست خواهد آمد و برعكس یعنی انتگرال نیروها در واحد طول ، شكل حلقه ‌را مشخص خواهند نمود .

در این حالت ، اگرچه شكل و نیروها شناخته شده نیستند اما شكل (‌همانطور كه در معادله 6-9 بیان شده اند ) همیشه روی نیروها ( همانطور كه توسط معادله های كمكی 16-9 ارائه شده ) عكس العمل داشته و یك ساختار انرژی مینیمم ( با شرط گشتاور معادلات 18-9) را ارائه می دهد .

یك اختلاف دیگر بین معادلات (6-9)و(16-9)و.(18-9) و تئوری معمول تیر ساده این حقیقت را آشكار خواهد نمود كه بعلت عبارتهای بكار رفته ،سینوسی و كسینوسی معادلات ارائه شده بطور قوی غیر خطی هستند .

4-3- الگوریتم محاسباتی

از الگوریتم (‌مجموعه دستورالعملها ) زیر برای حل معادلات (6-9)و(16-9)و(18-9) روی كامپیوتر دیجیتال استفاده شده است.

1) مقدار m حدس زده شده و بعد از مرحله (2) ، شكل حلقه با مشخصات تقاطع صحیح بدست می آید .

2) از انتگرال معادله (6-9) شكل حلقه به دست می آید

3) شكلهای اطراف نخها ( شامل همه انواع فشردگی یا تماس احتمالی ) هم از حالتهای تقارن یا از مراحل 1و2 با نخهای متفاوت تشكیل شده ، بدست می آیند.

4) محاسبه فاصله های r بین نخهای تماسی

5) نیروهای در واحد طول بعلت تماسهای نخ برای k‌ این حلقه در فاصله r‌را محاسبه كنید (‌كه بطور اتوماتیك شامل همه انواع فشردگی است )

6) از معادلات كمكی (16-9) انتگرال بگیرید

7) بررسی كنید آیا گرادیانهای انرژی j=1,2,3 در محلهای بكار رفته ، تعادل گشتاور و مینیمم انرژی حاصل گردیده است بنابراین محاسبات متوقف می شود و اگر این شرایط رضایت بخش نبود m‌جدید را مطابق ذیل بدست آورید .

كه اندازه مرحله است و از مرحله دوم شروع می شود (52)

یك روش دیگر برای محاسبه حل بهینه برای كنترل متغیرها با توجه به معادلات تعادل گشتاور بعنوان مجموعه از باقیمانده ها ( با قیمانده ها روی شرایط مرزی ) است .

الگوریتم های سریع و كارآمد در بیشتر كتابخانه های محاسباتی برای بررسی سیستماتیك برای اپتیمم m‌در بین باقیمانده ها نیز وجود دارد .

فشار نخ یا تابع پتانسیل تماسی

با توجه به اینكه معادلات تعادل گشتاور (‌معادلات 18-9) كاملاً بطور طبیعی ازمعیار انرژی مینمم بدست آمده ، اما شرط مورد انتظار تعادل نیرو هنوز پایدار نشده است .بدلیل اینكه نیروهای داخلی نخ از تابع عددی g‌ نتیجه شده و انتظار می رود كه تعادل نیرو فقط برای g انتخاب شده مناسب ، قابل محاسبه می باشد .

بطور ضمنی قبلاً فرض شده بود كه تابع فشاری عددی را برای بعضی تعریف نشده ، و بنابراین نیروهای داخلی نخ می تواند محاسبه گردد . بدلیل اینكه g فقط به r وابسته است نیروها از g اصلی كه باید همیشه در طول بردار اندازه r( نشانداده شده در معادلات (16-9) ) باشد، نتیجه گیری می شود . در نتیجه ، به منظور مطمئن شدن تعادل نیرو بین نخها در تماس ، تعریف r لازم است. روش بدست آوردن r نخ Z ، از نخ می باشد اما بردار مخالف اندازه r یعنی از منحنی به Z بدست می آید .

بنابراین r باید تعریف شود بشرط آنكه برای هر دو و Z نرمال باشد اما در این حالت هیچ تماس دائمی بین نخها وجود ندارد بجز وقتی كه نخها و Z شكلهای خاصی داشته باشند .

به منظور ایجاد ، منطقه پیوسته تماسی ، بجای (g(r یك تابع اصلی عددی G* فرض می گردد:

(27-9)                                               

بطوریكه انتگرال روی نخ انجام شده است از معادلات كمكی (16-9) ، می توان بدست آورد كه نیروهای توزیع شده روی نخ Z هستند .

برای

نیروی كل روی حلقه Z برابر است با:

(28-9)                                                       

اما

(29-9)                                                  

و بنابراین داریم :

(30-9)                                                                                       

بطوریكه نیروی كل اعمال شده برروی نخ است نتیجتاً این نیروی كل اعمال شده روی نخ Z، مساوی و مخالف نیروی نشان داده شده است .

به صورت شماتیك ، این نتایج در شكل (10-9) نشان داده شده است نیروی توزیع شده روی المان dz از نخ Z مجموع بردار همه نیروها بدلیل همه اجزاء است.

می توان نشان داد كه G* اصلی فقط وابسته به بردار اندازه فاصله r است .

اگر G* یك تابع بردار كنترل m باشد بنابراین معادلات تعادل( از معادلات(18-9) )حالتهای را شامل می شود بطوریكه گشتاورها در تعادل، بزرگتر نخواهند شد . اگر G* یك تابع از Z₅ , Z₄ باشد بنابراین (‌معادله های (16-9)) حالتهای به ترتیب شامل می شوند . این نشان می دهد كه نخ Z در نقاطی كه گشتاور خمشی افزایش می یابد بعلت اثر همه بردارهای نیروی اصلی از اجزاء d نخ كه از Z(s) عبور می كند می باشد و نیروهای هم رأس گشتاوری را پوشش نمی دهند.

بطوریكه مجدداً نمی تواند یك تابع Z_{4 و} Z₅ باشد به طور مشابه G* نیز تابع نیست .

همانطور كه قبلاً‌بحث گردید ( فصل 6) شكل كلی تابع فشاری به صورت

(31-9)                                                                           

است كه a ضریب فشاری (5<a<30) است . و فاصله ارائه شده بین نخها است .

این تابع به اندازه كافی می تواند مشخصات فشاری هر دو نخهای Staple و فیلامنتی را توضیح دهد .

6-3- آنالیز ابعادی

انرژی كرنشی كل نخ ، تقسیم بر B‌ و مینیمم شده ، بصورت زیر است .

برای دریافت اینجا کلیک کنید